Das ist eines er vielen Missverständnisse in der Mathematik und unwahren Geschichten, die einem Mathelehrer immer so erzählen. Imaginäre Zahlen sind nicht im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen er- bzw gefunden worden. Man hätte vermutlich ziemlich gut damit leben können, dass x^2 - 1 = 0 keine Lösungen hat. Das ist geometrisch auch völlig unsinnig ein Quadrat mit Flächeninhalt -1 zu haben. Dass z.B. x / 0 = 1 keine Lösungen hat, stört uns ja im Allgemeinen auch nicht. Wo soetwas das erste Mal Probleme verursachte, waren kubische Gleichungen - also x^3 + ax^2 + bx + c = 0. Dafür hat man dann Mite des 16Jh nämlich eine geschlossene Lösung gefunden. Google: del Ferro-Tartaglia-Cardano.

Das Problem an eben jener Lösung war, dass z.B. x^3 = 15x + 4 eine sehr offensichtliche Lösung hat (x=4). Wenn man es aber über die o.g. Lösungsformel versucht, bekommt man x = crt(2+sqrt(-1))+crt(2-sqrt(-1)) - crt soll jetzt mal für "cube root" stehen. Die Frage war jetzt also, wie man das zusammen bringt. Man wusste, dass die Formel selbst richtig ist. Man wusste, dass jedes kubische Polynom mindestens eine Lösung hat. Jetzt hat man aber Fälle, von denen man nicht wusste, wie man sie interpretieren sollte. Bombelli überlegte dann als erster etwas in die Richtung "lass uns annehmen, es gibt da was, nennen wir es i mit der Eigenschaft i*i=-1". Wenn man es damit durchspielt, kommt man erstmal weiter und bekommt 4 als Lösung.

Es hat dann nochmal 200 Jahre gedauert, bis das ganze dann halbwegs akzeptiert und formalisiert war und bis Gauss dann das bewiesen hatte, was wir heute als den "Fundamentalsatz der Algebra" kennen.